A Vida e a Obra de Pitágoras, o Teorema de Pitágoras e a Simbologia dos Números

É muito pouco provável que algum dos leitores desta história nunca tenha ouvido falar de Pitágoras, do Teorema de Pitágoras e da sua Escola Pitagórica. Contudo, talvez muitos não conheçam algumas peculiaridades sobre a vida e a obra de Pitágoras, da simbologia dos números adoptada pelos pitagóricos e de alguns aspectos da sua vida bem como o fracasso mais notável do seu pensamento científico que, na verdade, acabou por corresponder a uma notável revolução do conhecimento matemático. Pitágoras foi genial no seu tempo e percursor do pensamento filosófico de Platão e Aristóteles.

“A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.”

Busto de Pitágoras, nos Museus Capitolinos, em Roma. A vida e a obra de Pitágoras.
Busto de Pitágoras, nos Museus Capitolinos, em Roma.

É importante começar por referir que Pitágoras é uma figura historicamente misteriosa pois não deixou nenhum registo escrito, por isso a vida e a obra de Pitágoras e tudo o que se sabe dele se deve à tradição oral e ao que sobre ele escreveram, principalmente Filolau (470-385 a.C.), cerca de 100 anos após a sua morte, nos seus ‘Escritos pitagóricos’, a quem se atribui alguma credibilidade visto tratar-se de um sobrevivente da revolta antipitagórica que determinaria a morte de Pitágoras e também a Arquitas de Tarento (435-347 a.C.), discípulo de Filolau.

Pitágoras é considerado um dos fundadores da mais exacta das ciências, a Matemática, partilhando esta proeza com Tales de Mileto.

Foi o primeiro matemático puro da História, devido à sua preocupação em passar dos casos concretos para o geral, ou seja, por ter sido o primeiro a concretizar a passagem da observação prática pontual para a generalização de um teorema, não por via de uma mera razão intuitiva mas através de uma dedução lógica, através da respectiva demonstração, paradigma da Matemática actual.

Pitágoras terá vivido entre 570 e 490 a.C.

Nasceu na ilha grega de Samos, filho de Pythais e Mnesarchus, contudo, segundo a lenda, a sua mãe, Pythais, engravidou do deus Apolo, patrono do Oráculo de Delfos, o que significa que Pitágoras nascia para benefício de toda a Humanidade; aliás, o seu nome pretende significar isso mesmo, ‘anunciado por Apolo’: ‘Pythios’, o real nome de Apolo, e ‘agoreuo’ que significa ‘anunciar’.

Durante a sua juventude e sequente período de formação, Pitágoras terá recebido influência dos pensamentos de diversas origens: principalmente de Tales, Anaximandro e Ferécides de Siro, mas também de Zenão, Xenófanes, Heráclito, Parménides, Anaxímenes, Empédocles e Demócrito, todos eles pioneiros do pensamento lógico grego.

‘Escola de Atenas’, de Rafael, Palácio Apostólico no Vaticano. Estão representados: Pitágoras (em primeiro plano, no canto inferior esquerdo com um livro na mão e com uma túnica branca sobre as pernas), Zenão, Epicuro, Rafael, Anaximandro, Averroes, Alcibíades, Antístenes, Hipatia, Xenofonte, Parménides, Sócrates, Heráclito, Platão, Aristóteles, Diógenes, Plotino, Euclides, Zoroastro, Ptolomeu e Protógenes.
‘Escola de Atenas’, de Rafael, Palácio Apostólico no Vaticano. Estão representados: Pitágoras (em primeiro plano, no canto inferior esquerdo com um livro na mão e com uma túnica branca sobre as pernas), Zenão, Epicuro, Rafael, Anaximandro, Averroes, Alcibíades, Antístenes, Hipatia, Xenofonte, Parménides, Sócrates, Heráclito, Platão, Aristóteles, Diógenes, Plotino, Euclides, Zoroastro, Ptolomeu e Protógenes.

Certamente devido a esta multifacetada amálgama de conhecimentos adquiridos, Pitágoras fundou uma escola na sua cidade natal, o ‘Semicírculo’, onde divulgava os seus conhecimentos. A curiosidade desta sua actividade é que, segundo a lenda, ele ensinava em grutas, o que era típico, na época, ser atribuído a figuras míticas e obra de Pitágoras.

Por volta dos 40 anos de idade, por discordar do tirano governador de Samos, Polícrates, Pitágoras fugiu para Crotone, cidade-estado grega no Sul de Itália onde casou com Theanos de Creta, formou família e fundou uma escola espiritual que manteria também uma intensa actividade política.

As doutrinas religiosas do pitagorismo baseavam-se nas teorias da imortalidade da alma, do eterno retorno e na correlação entre todas as coisas do Universo.

A vida e a obra de Pitágoras ficaram conhecidas como sendo o ‘filósofo feminista’ por admitir mulheres na sua escola, ao contrário do que era habitual na época, em que às mulheres era atribuído um papel secundário e subserviente.

Da obra de Pitágoras, ressalta a sua reforma religiosa foi tão relevante que viria a servir de suporte ao pensamento filosófico de Platão (428-347 a.C.).

Os seguidores da obra de Pitágoras eram grandes místicos, viviam numa comunidade profundamente hierarquizada (acusmáticos/matemáticos, exotéricos/esotéricos, administradores/políticos) e submetida a regras muito rígidas que inclusivamente controlavam os aspectos mais comuns da sua vida diária. Viviam na verdade como uma seita religiosa, submetidos ao poder do seu mestre.

A Escola Pitagórica imprimiu grande fulgor político à cidade de Crotone, porém haveria de implodir devido a uma revolta liderada por Cílon, um abastado crotoniano cuja admissão na Escola Pitagórica fora recusada e que, por despeito, acabou por dinamizar a população da cidade contra todos os pitagóricos, ao ponto de os perseguir e matar. Não é contudo seguro que Pitágoras tenha sido morto nesta revolta, outra versão refere que se terá exilado em Metaponto, cidade próxima de Crotona, onde teria morrido em cerca de 490 a.C.

Depois deste episódio a Escola Pitagórica eclipsou-se, nunca mais tendo sido recomposta; apenas alguns dos sobreviventes se espalharam por cidades vizinhas continuando o seu trabalho individualmente.

A Escola Pitagórica adoptou como símbolo o místico pentagrama, também designado por pentalfa, estrela formada por 5 segmentos de recta e por 5 pontas.

Pentagrama, símbolo da Escola Pitagórica
Pentagrama, símbolo da Escola Pitagórica

Esta figura tem diversas peculiaridades geométricas, sendo a mais curiosa a de poder ser traçada, por completo, por um único movimento, sem ser necessário passar mais que uma vez pelo mesmo segmento.

Aliás é interessante referir que o número 5 era considerado um número sagrado pelos pitagóricos: ele resultava da junção da díada (2, o feminino) com a tríada (3, o masculino), simbolizando o casamento (2+3=5).

Para os pitagóricos todos os números da década de 1 a 10 tinham um significado místico. Vejamos a simbologia dos números através dos números e significados adoptados pela Escola Pitagórica:

1- a ´mónada´, a fonte de todos os seres, a partir dele todos os números podem ser gerados por adição repetida;

2- a ‘díada’, representa  o indefinido, a variedade, simboliza a matéria e a imperfeição;

3- a ‘tríada’, símbolo da perfeição, , representando o carácter masculino;

4- representava a causa e o efeito, a perfeição, a natureza e o homem;

5- como vimos, simbolizava a reunião do feminino com o masculino, o casamento;

6- produto de 2 por 3 (díada x tríada, feminino x masculino), simbolizava o casamento e a procriação;

7- representava a luz, a saúde e era considerado um número geometricamente invulgar por não ser possível dividir um círculo em sete partes iguais com alguma construção geométrica conhecida na época;

8- símbolo da amizade por ser a soma de dois quadrados perfeitos (4+4);

9- representante do amor por ser o número de meses da gestação humana e da igualdade e da justiça pelo facto de os seus factores serem iguais (3×3);

10- representava Deus e o Universo, como está expresso naquele que é considerado o ‘juramento pitagórico’:

“Juro por Aquele que gravou na nossa alma o tetraktys, fonte e origem da natureza eterna”.

P.S.: ‘Tetraktys’ significa tétrada, ou seja, a soma dos quatro números da década que reproduzem o 10: 1+2+3+4=10.

Esta simbologia dos números mantém-se até hoje.

Os pitagóricos dedicaram-se profundamente ao estudo de diversas disciplinas, filosofia, política, medicina, religião, astronomia, música e, principalmente, geometria e aritmética.

Bem, estou crente que, neste momento, os meus leitores estarão surpresos por ainda não vos ter falado do mais famoso teorema do planeta, claro, o ‘Teorema de Pitágoras’!

Então aqui vai…

É justo começar por referir que alguns casos particulares do Teorema de Pitágoras já eram conhecidos muito antes da obra de Pitágoras, no Egipto, na Mesopotâmia (Babilónia), na Índia e na China. O mérito particular da Escola Pitagórica foi o de ter sido capaz de demonstrar a sua generalidade através de um raciocínio dedutivo.

Repare-se que escrevi ‘mérito da Escola Pitagórica’, não do próprio Pitágoras, e não foi mero lapso; de facto persistem grandes dúvidas que esta generalização se deva pessoalmente ao próprio Pitágoras, o que se sabe é que, seguramente, ela se deve a algum membro ou membros da sua Escola.

Uma das grandes descobertas geométricas dos pitagóricos é a relação entre os lados de um qualquer triângulo rectângulo.

É o que conhecemos hoje por Teorema de Pitágoras: num triângulo rectângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.

O triângulo retângulo de Pitágoras

Vejamos um exemplo para o caso particular de um triângulo rectângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 centímetros.

Verificação geométrica do Teorema de Pitágoras; neste caso: 9+16=25. Simbologia dos Números.
Verificação geométrica do Teorema de Pitágoras; neste caso: 9+16=25.

Este teorema se, por um lado acaba por ser o símbolo máximo da Escola Pitagórica, também viria a ser o princípio do fim da sua doutrina e da sua Escola.

Para a Escola Pitagórica os números eram a essência de toda a vida e de todas as coisas, sendo tudo capaz de ser medido a partir da unidade utilizando múltiplos ou partes dessa unidade, ou seja, os pitagóricos apenas concebiam a existência de ‘números racionais’, isto é, de números inteiros e de números que possam ser representados por fracções formadas a partir dos números inteiros.

Ora, conforme conta a história, Hipaso de Metaponto, nascido por volta de 500 a.C. e membro da Escola Pitagórica, aplicou o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado 1, tendo descoberto que a medida dessa diagonal (d) não podia ser representada por um número racional.

Rebatimento da raiz quadrada de 2

 

Segundo o Teorema de Pitágoras terá de ser:

Equação 1

Equação 2

Equação 3

Ora, facilmente se constata que não existe nenhum número inteiro ou fraccionário que, elevado ao quadrado, seja igual a 2, evidenciando-se, assim, que teria de existir outro tipo de números para além dos inteiros e fraccionários exclusivamente admitidos pelos pitagóricos, como vimos em Inúmeros Números.

Na posse desta descoberta, que aparentava poder torná-lo famoso, acabou afinal por ser a sua sentença de morte. Hipaso divulgou a sua descoberta a toda a comunidade, evidenciando assim, com a quebra do juramento de silêncio sobre novas descobertas a que estava sujeito na comunidade pitagórica, que o pressuposto da Escola Pitagórica estava errado; em consequência, foi assassinado, constando em alguns registos que teria sido o próprio Pitágoras a cumprir a sentença. A vida e a obra de Pitágoras terminaram assim com um sentimento misto de fracasso e glória.

Está hoje já demonstrado que o valor daquela diagonal é representado por um ‘número irracional’ (aquele tipo de números reais que não podem ser representados por uma fracção).

Hipaso desapareceu mas já nada havia a fazer, a sua descoberta da existência dos números irracionais ficou para a posteridade. Tal, porém, não apaga o feito científico da Escola Pitagórica que representa o enunciado e a demonstração do Teorema de Pitágoras. Grande obra de Pitágoras!

Esperamos que tenha gostado da informação sobre a vida e a obra de Pitágoras.

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