Produções ilusórias de Escher, figuras impossíveis, incongruentes e desconcertantes

O artista Escher utilizou transformações geométricas, para obter figuras incongruentes, surpreendentes e figuras impossíveis, combinando matemática e arte e ao mesmo tempo arte e matemática. As produções ilusórias de Escher, enganam o nosso cérebro. Vamos visitar as pinturas de Escher. Obras de Escher, surpreendentes!

Na sequência do artigo em que abordámos a questão de quem foi Escher, visitámos a Exposição de Escher em Lisboa com as obras do artista Escher. Vimos problemas matemáticos e ilusões visuais, numa combinação de arte e matemática. Vamos ver as obras de Escher.

Tudo numa homenagem às possibilidades da mente humana. Figuras impossíveis e imaginativas, produções ilusórias de Escher.

Escher utilizou transformações geométricas, como rotações, reflexões e translações para dar aos seus objetos formas surpreendentes. Embora partindo de uma realidade concreta, essas transformações geométricas são calculadas de forma meticulosa em várias tentativas, para encontrar a “fórmula mágica” que transforma os seus quadros numa ilusão ótica, enganando o nosso cérebro com imagens aparentemente irreconciliáveis de figuras impossíveis.

Por vezes, faz uma simbiose entre objetos e formas que conhecemos, padrões geométricos que se transformam gradualmente, combinando-as com símbolos matemáticos, como o símbolo do infinito e dando forma a construções desconcertatntes e paradoxais.

As produções ilusórias de Escher, são assim a inclusão da matemática na arte e resultando em arte e matemática.

No “Encontro” vemos na parede um conjunto de figuras pretas e brancas, desenhadas de forma que parecem interpenetrar-se. Uma das produções ilusórias de Escher.

Tanto podemos ver figuras brancas sendo o preto o fundo da parede, como podemos ver figuras pretas sobre um fundo branco. Esta sequência de figuras vai-se aproximando de nós, à volta de um buraco redondo perpendicular à parede. As figuras pretas e brancas quando saem da parede, vão-se transformando em figuras humanóides. Os homens quando se apercebem do buraco existente, rodam à sua volta, contornando-o. As figuras vão evoluindo e esta ilusão de inteligência para contornar o buraco, cria-nos a sensação de que esses homens são agora reais. Vão-se aproximando uns dos outros de tal modo que acabam, mesmo à nossa fente por dar as mãos. Parece um encontro real e à escala tridimensional que começa por ser uma mescla de sombras a duas dimensões.

Encontro, 1944. Produções ilusórias de Escher.
Encontro, 1944.

O “Gafanhoto” desenhado num sistema bidimensional, é, na realidade tridimensional e o artista Escher, porque o desenho é ilusão, sugere uma realidade que não é, induzindo essa ilusão, porque parece que o gafanhoto está a sair do desenho.

Gafanhoto, 1935. Figuras Impossíveis
Gafanhoto, 1935

A “Metamorfose II” é a maior gravura que o artista Escher realizou. Tem 20 cm de altura e 4 metros de comprimento!

Na “Metamorfose II” vemos formas abstratas tornarem-se formas concretas e que voltam a tornar-se abstratas. Enquanto formas abstratas, indeterminadas, transformam-se em formas concretas bem delimitadas e, logo a seguir, essa objetividade mais próxima da realidade desaparece e dá origem a nova forma abstrata.

São as metamorfoses, como o artista Escher as denominou, formas abstratas a darem origem a formas concretas e estas, a novas formas abstractas e assim sucessivamente.

Vislumbramos favos a transformarem-se em abelhas ou as abelhas em favos,conforme quisermos imaginar. Quadrados que se transformam em lagartos para passarem a ser hexágonos, mutação de grande originalidade, por ser inusitada para a lógica do nosso raciocínio normal.

Mão com esfera refletora” é uma das obras de Escher mais conhecidas. Nela o autor procura integrar no mesmo lugar dois mundos diferentes. Para esta impossibilidade física aparente, ele cria uma ilusão, usando reflexões em espelhos convexos, dando a ideia de figuras impossíveis.

É assim que eu me vejo no interior desta esfera e qualquer outra pessoa não verá a mesma coisa. Verá um mundo diferente.

A minha mão segura a esfera e ao mesmo tempo segura todo o espaço que a envolve. Um mundo fisicamente muito pesado para poder segurar tão só com a minha mão. Curiosamente, a minha mão toca a mão que está no interior do espaço envolvente.

Mão com esfera convexa, 1935, artista Escher.
Mão com esfera convexa, 1935, artista Escher.

Na “Relatividade” encontramos três sistemas gravitacionais diferentes, convivendo como se fossem um espaço não gravitacional, como o dos astronautas que podem andar umas vezes com a cabeça para cima, outras vezes com o corpo com meia volta à direita ou com meia volta à esquerda ou, mesmo com a cabeça para baixo, sem que isso lhes cause perturbação.

Há três grupos de pessoas que convivem no mesmo espaço. O que para um dos membros de um grupo é um teto para outro grupo é uma parede. O que para um é uma porta para outro parece ser um buraco no chão.

Obras de Escher. Relatividade, 1953. Arte e Matemática.
Obras de Escher. Relatividade, 1953. Arte e Matemática.

Tomemos a posição que para nós é a normal, seguindo a pessoa que está na parte inferior do quadro e que está a subir as escadas. Ela pode subir a escada, no topo da escada à esquerda pode continuar a subir e vai encontrar um jardim. Se ela parar nessa entrada que dá para o jardim e não for em frente, tem duas outras hipóteses. Uma escada que sobe à esquerda e outra que sobe à direita. Se subir pela escada da esquerda vai encontrar dois companheiros do seu grupo e pela escada da direita também.

Há outro grupo que vive num mundo diferente. A pessoa que está sentada a ler um livro, localizada no meio da imagem, se levantar os olhos do livro, pode ficar perturbada. Será que tem os pés no chão, ou no teto ou na parede? Se ela se levantar e andar para a direita encontra uma pessoa que parece vir de uma cave com um saco às costas. Como é que esta vai conseguir chegar ao jardim?

Ela faz parte do grupo que tem a cabeça para a direita e vemos outro que desce a escada com uma garrafa, no lado direito do quadro. No final da escada pode virar á sua esquerda para entrar na porta. No alto dessa escada estão dois companheiros numa mesa de jardim. No cimo do quadro á esquerda, estão alguns com a cabeça para a esquerda e um deles desce a escada que vem do jardim. No jardim está um casal romântico deste grupo. No total temos 16 figuras. Completas produções ilusórias de Escher. Não acham?

Os três campos de gravidade diferentes são perpendiculares uns aos outros. Se conseguíssemos rodar um pouco o quadro perceberíamos melhor os movimentos das pessoas em cada um desses campos. Arte e matemática!

O “ambiente de relatividade” desta obra do artista Escher, tem sido sobejamento utilizado como cenário de vários filmes e o resultado, com figuras impossíveis, é sempre surpreendente.

Não perca esta exposição com as obras de Escher que continuará patente no Museu de Arte Popular em Lisboa, até ao próximo dia  27 de Maio.

Esperamos que tenha gostado desta informação.

Partilhe o artigo na sua rede social preferida. Faça um comentário e não esqueça, junte-se à nossa rede de seguidores.

Também pode seguir o Pássaro no Ombro numa das redes sociais em que estamos presentes.

Fonte: O Espelho Mágico de M.C. Escher, de Bruno Ernst. Editor Taschen, 1991.

 

 

Please follow and like us:

Jogos matemáticos em forma de jogos educativos, 3 jogos de matemática online

Neste artigo, depois de uma muito breve referência histórica, serão propostos 3 jogos matemáticos muito acessíveis e educativos, dois deles podendo ser jogados em endereços da internet que apresentam diversos jogos de matemática online.
Todos são jogos educativos e jogos matemáticos pedagógicos.

Os jogos fazem parte da nossa vida desde os tempos mais remotos, estando presentes não só na infância mas também em todos os momentos. Os jogos educativos, em particular os jogos matemáticos, podem ser grandes aliados na educação, pois divertem, motivam, facilitam a aprendizagem e aumentam a retenção do que foi ensinado e aprendido, exercitando as funções mentais e intelectuais dos jogadores.

São conhecidos vestígios arqueológicos que confirmam a existência de jogos desde 2600 a.C. em diversas culturas.

Um dos mais antigos é o ‘Jogo de Mancala’, identificado em África e na Ásia.

Este tipo de jogo tem muitas variantes, podendo o tabuleiro ter diferentes quantidades de cavidades, sendo as mais frequentes, 2X6, 2×10, 4×6 e 4×10.

As peças são, em geral, sementes, e o objectivo é ou capturar as sementes do adversário ou bloqueá-las.

Jogo de Mancala Cavidades antigas de Gebeta (mancala) na base de uma estela axumita Aksum Etiópia
Jogo de Mancala Cavidades antigas de Gebeta (mancala) na base de uma estela axumita, Aksum, Etiópia
Duas pessoas disputando um jogo
Duas pessoas disputando um jogo
Um tabuleiro da África Ocidental
Um tabuleiro da África Ocidental
Tabuleiro Desdobrável actual
Tabuleiro Desdobrável actual

Em Portugal, o jogo mais antigo referenciado é o ‘Jogo do Tavolado’, comum na Idade Média.

Este jogo consistia em unir tábuas para formar um castelo capaz de resistir ao arremesso de uma lança.

Os jogos, além de atractivos, têm a capacidade de gerar um elevado potencial de aprendizagem, características que proporcionam a criação de diversos jogos matemáticos com o âmbito de facilitarem e consolidarem o ensino e a aprendizagem da matemática, tornando-a mais cativante e atraente.

Os jogos educativos facilitam e estimulam a aprendizagem através da interacção e incitam à resolução dos problemas propostos, permitindo ao utilizador raciocinar e estimular as suas capacidades.

O jogo é um tipo de actividade que alia raciocínio, estratégia e reflexão com desafio e competição de uma forma lúdica muito rica. Os jogos educativos de equipa podem ainda favorecer o trabalho cooperativo. A prática de jogos, em particular dos jogos de estratégia, de observação e de memorização, contribui de forma articulada para o desenvolvimento de capacidades matemáticas e para o desenvolvimento pessoal e social.

Quando os jogos matemáticos são inseridos na aula, ou praticados em família e com amigos, deixam de fazer parte de uma simples brincadeira e passam a ter, para além da sua ludicidade, um carácter eminentemente pedagógico.

Vamos apresentar três desses jogos matemáticos, todos eles com regras muito simples, esperando que apreciem e que decidam jogá-los, em particular acompanhando crianças e jovens. Noutra oportunidade deixaremos aqui outras sugestões.

Bons jogos!

NIM – Jogos educativos

Jogo Matemático NIM
Jogo Matemático NIM

De entre todos os jogos matemáticos hoje conhecidos, o jogo Nim foi o primeiro jogo a ser estudado e utilizado com aplicação matemática.

Embora seja frequente considerar que este jogo teve origem na China, ela é efectivamente desconhecida, sabendo-se contudo que já era jogado na Idade Média por soldados chineses.

Aplicação.

A partir do Ensino Básico.

Tema.

Raciocínio lógico, estratégia, números inteiros.

Número de jogadores.

Dois.

Descrição.

Existem várias versões deste jogo, em função do número de peças inicial e do número de grupos que se constituírem inicialmente.

Vejamos uma das versões podendo depois serem efectuadas alterações ao número de montes e ao número de peças em cada monte, conforme opção dos jogadores. As peças podem ser palitos, feijões ou quaisquer outras.

Começa-se por agrupar, em cima de uma mesa, n peças, por exemplo n=15, em 3 montes de, por exemplo, 3 , 5 e 7 peças.

Durante o jogo os dois jogadores, alternadamente, retiram um número qualquer (não nulo) de peças de apenas um do grupos, podendo mesmo retirar todos as peças do grupo escolhido.

Ganha o jogo o jogador que retirar a última peça da mesa.

Uma variante bastante interessante do jogo matemático do NIM pode ser a seguinte.

Começa-se o jogo com 27 peças num único monte.

Alternadamente, cada jogador pode apenas retirar 1, 2, 3 ou 4 peças.

Perde o jogador que retirar a última peça.

E, claro, a partir da ideia base, agora cada um de vós poderá criar um jogo ‘NIM’ com as suas próprias regras…

TORRES DE HANÓI – Jogos Matemáticos Online

Jogo Torres de Hanói
Jogo Torres de Hanói

Aplicação.

A partir do Ensino Básico.

Tema:

Raciocínio lógico, estratégia, organização, planeamento.

Número de jogadores.

Um.

P.S.: Quando um jogo é destinado a um único jogador é normalmente designado por ‘quebra-cabeças’, é o caso deste jogo.

Descrição.

O material do jogo consiste numa base com 3 torres (na figura, A, B e C) e vários discos (na figura estão representados 5 discos, contudo nunca poderão ser menos de 3 discos e poderão ser acrescentados até, pelo menos, 10 discos).

A torre A é a ‘torre-origem’, a torre B a ‘torre de trabalho’ e a torre C a ‘torre-destino’.

O jogo começa com todos os discos inseridos na torre-origem e o objectivo é deslocar todos os discos para a torre-destino cumprindo as seguintes duas regras:

  1.  o jogador apenas pode movimentar um disco em cada movimento;
  2.  um disco de diâmetro maior nunca pode ser sobreposto a um disco de diâmetro menor.

Encontrada que esteja uma boa estratégia, o jogador pode colocar-se perante um novo desafio: realizar o jogo com igual número de discos mas com o menor número de movimentos possível! É este o grande desafio deste jogo. E, claro, quanto mais discos maior a dificuldade…

Este jogo tem a particularidade de poder ser jogado na internet de modo livre, visto existirem muitos endereços com diversos jogos de matemática online.

Cada um dos botões leva-o a uma página diferente , mas é o mesmo jogo. Experimente, clicando no botão.

Torre de Hanói, página "Uterra"
Torre de Hanói, página “Uterra”
Torre Hanói, página "Só Matemática"
Torre Hanói, página “Só Matemática”

JOGO DO 24

Jogo do 24

Jogo do 24 – Jogos matemáticos pedagógicos

Aplicação.

A partir do 4º ano do Ensino Básico.

Tema:

Raciocínio lógico, planeamento, cálculo.

Número de jogadores.

Vários.

Descrição.

O jogo matemático do 24 consiste numa série de cartões onde se apresentam quatro números, podendo alguns surgirem repetidos.

Os jogadores têm à sua disposição as quatro operações básicas (adição, subtracção, multiplicação e divisão), podem utilizar parênteses e, em cada jogada, podem utilizar uma, algumas ou todas as operações, repetidas ou não.

O objectivo é obter sempre o resultado 24, utilizando obrigatoriamente os quatro números do cartão uma única vez cada um.

Não é permitido o uso de calculadora.

O jogo pode ser jogado com diversas versões:

1) sem papel nem lápis e responde apenas o jogador que sinaliza em primeiro lugar que já sabe a resposta (a sinalização pode ser, por exemplo, colocar a mão sobre a carta que está em jogo);

2) com um tempo máximo pré-definido para a resposta (dois minutos, por exemplo) findo o qual, se não houver quem tenha respondido, o cartão é retirado de jogo; nesta versão, apenas responderá o jogador mais rápido.

3) Numa versão mais ‘socializante’ deste jogo matemático pode adoptar-se pelo procedimento que se descreve a seguir, o qual permite que todos os jogadores possam participar em todos os cartões; nesta versão cada jogador deve estar munido de papel e lápis.

Os cartões são baralhados e colocados num monte com os números virados para baixo.

O primeiro cartão é virado e cada jogador, sem os outros verem, escreve num papel a sua resolução, terminando a jogada quando todos os jogadores já tiverem anunciado que terminaram (quer tenham ou não uma resposta a apresentar); se se preferir pode ser definido um período máximo de tempo razoável para cada jogada (normalmente dois minutos) para não eternizar o tempo de jogo.

Cada jogador que acerta recebe o número de pontos correspondente ao número de pintas que se encontram em cada canto do respectivo cartão (no caso do exemplo que se segue serão 2 pontos).

Completado um cartão passa-se ao seguinte até esgotar o monte.

Esgotado o monte, vence o jogador que totalizar o maior número de pontos.

Com o seguinte exemplo ficará mais claro: o jogador acertou e recebeu 2 pontos.

Atenção: não confundir o 6 com o 9, normalmente o 9 encontra-se ‘preenchido’; conforme se vê neste exemplo, o 9 está ‘preenchido’ a vermelho.

Como Jogar o jogo do 24
Como Jogar o jogo do 24

Os cartões deste jogo matemático podem ser adquiridos numa loja especializada ou, em alternativa, também pode ser jogado, em modo livre, em diversos endereços que apresentam jogos de matemática online.

Seguem alguns endereços que têm este jogo disponível.

O software foi criado no Agrupamento de Escolas de Vouzela, no âmbito da 7ª Edição do Prémio da Fundação Ilídio Pinho “Ciência na Escola”. Clique aqui.

Para utilizar este primeiro endereço, mais aconselhável que o seguinte, deverá ter instalado no computador o ‘Adobe Flash Player’ cuja instalação é fácil e gratuita.

Pode ver aqui uma versão do jogo do 24 apresentada em forma de ‘slides’.

 

Botão de acesso ao Jogo do 24
Botão de acesso ao Jogo do 24

Estes jogos matemáticos têm actualmente muitas outras variantes, podendo os cartões apresentar números fraccionários, ou permitir a aplicação de potências e raízes quadradas e cúbicas ou ainda apresentar cartões duplos numa versão mais sofisticada. A explicação destas variantes pode ser observada clicando na imagem seguinte:

Aprender Matemática, Actividades de Matemática, Jogos Matemáticos
Actividades de Matemática

Esperemos que se possam divertir com estas sugestões de jogos matemáticos!

Bons jogos!


 

 

 

Please follow and like us: