Inúmeros números

Imaginemos uma aula em Atenas, na Grécia Antiga, sobre os inúmeros números que hoje conhecemos e porque razão eles são todos necessários e úteis.

Há números e números e são mesmo em grande número.

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Escola Atenas

Comecemos pelo que podemos considerar o princípio, recorrendo a uma pequena história.

José, um jovem, decidiu ser pastor. Reuniu várias ovelhas e chegou um momento em que sentiu necessidade de as contar: uma, duas, três,… Fê-lo recorrendo aos números naturais (N). Digamos que utilizou aquele tipo de números que nos permitem efectuar contagens:

Numeros Naturais

Note-se que o José apenas sentiu necessidade de contar, porque tinha algo para contar, isto é, o zero não pertence aos números naturais, se há ‘nada’ para contar não é preciso contar.

Continuemos então, para além dos números naturais.

Entretanto, o nosso pastor, que apenas tinha 20 ovelhas, envolveu-se em negócios desastrosos com outro colega pastor, tendo ficado a dever 30 ovelhas, isto é, ficaram a faltar 10 ovelhas (passou a ter menos dez ovelhas) para o José poder cumprir as suas obrigações. Como era muito cuidadoso com as suas contas, pretendia registar esta dívida, mas, com os números disponíveis, os naturais, sentiu-se impossibilitado de o fazer.
Criou então os números inteiros negativos, que, reunidos com os números naturais, deram origem ao conjunto dos chamados números inteiros (Z):

Numeros Inteiros

Pois, tenho a certeza que estão a achar algo estranho nesta sequência … É isso, falta o zero!

A sua ausência é momentânea e é propositada. É que o zero é um número muito mais recente na história da evolução do conceito de número (prometo que mais tarde falaremos dele), mas é de facto considerado um número inteiro, assim:

Numeros Inteiros; Numeros Naturais

Nota: o símbolo lê-se e significa “reunido com”.

Então, na verdade temos:

Eq 4

Bem, o José entretanto casou com a Maria e começaram a pensar como dividiriam equitativamente o rebanho de oitenta e quatro ovelhas quando tivessem filhos. Como primeira hipótese começaram por imaginar que teriam quatro filhos e facilmente concluíram: seriam vinte e uma ovelhas para cada um (o resultado, vinte e um, é um número inteiro já conhecido).

Em seguida puseram a hipótese de virem a ter oito filhos e … oops, novo problema para resolver: o resultado não está disponível no conjunto dos números inteiros.
Foram assim criados os números fraccionários que, reunidos com os números inteiros, constituem o conjunto dos números racionais (Q), isto é, aqueles números que podem ser representados por uma razão ou fracção:

Numeros Racionais; Numeros Fraccionários

O José e a Maria ainda se lembraram de considerar a hipótese de não virem a ter filhos e concluíram que, nesse caso, não podiam efectuar a divisão pois não havia ninguém por quem distribuir as ovelhas.

Quer isto dizer que em matemática, tal como na vida real, não é possível efectuar divisões por zero!

Bem, que fique claro, não é possível nem é necessário, logo não se trata de nenhuma incapacidade matemática, mas tão só da concretização da vida real através da matemática, ninguém precisa de dividir 10 rebuçados por zero pessoas…

Os números racionais ficam assim bem compreendidos,

Em determinada altura o casal José e Maria resolveu construir, em terrenos separados, duas cercas para as ovelhas não se afastarem muito para o que precisaram de fazer cálculos para determinar o comprimento da rede que tinham de comprar. Como ambas as cercas tinham a forma de um triângulo rectângulo, o José lembrou-se do teorema de Pitágoras (é verdade, o José era curioso, gostava muito de aprender coisas novas e tinha andado a ler um livro sobre a vida de Pitágoras).

Para poupar trabalho, resolveu medir o comprimento dos dois catetos e aplicar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da hipotenusa (estou a partir do princípio que os meus leitores conhecem este teorema: o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos).

Uma das cercas tinha os catetos com os seguintes comprimentos (em quilómetros): 3 e 4 , pelo que facilmente concluíram que a hipotenusa (h) seria:

Eq 6

(o resultado, cinco, é um dos números racionais, que já conheciam muito bem).

Entretanto, para a segunda cerca, cujos catetos, também em quilómetros, mediam 2 e 3, fizeram os mesmos cálculos aplicando o teorema de Pitágoras:

Eq 7

e, mais uma vez, outro problema: não existe nenhum número racional, ou seja, uma fracção, capaz de representar esta quantidade.
Surgem assim os números irracionais que, reunidos com os números racionais constituem o conjunto dos números reais (R):

Numero Reais; Numeros Irracionais

O que o José e a Maria nunca chegaram a saber é que também podem ser calculadas raízes quadradas de números negativos, desde que, aos números reais, sejam reunidos os números imaginários, para assim se obter o conjunto dos números complexos (C),

Numeros Imaginarios, Numeros Complexos

mas esta é uma parte da história da evolução do conceito de número que vamos deixar para mais tarde.

Para terminar, falta referir que José e Maria foram muito felizes toda a vida e que tiveram apenas um filho!

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