Exposição Escher em Lisboa, Museu de Arte Popular

A exposição de Escher está patente no Museu de Arte Popular, em Lisboa, até 27 de Maio de 2018.
Esta Exposição Escher em Lisboa apresenta mais de 200 obras do artista Escher, além de litografias, também equipamentos didácticos, experiências científicas e algumas surpresas.
Ilusões matemáticas e formas impossíveis, a não perder.

Maurits Cornelis ESCHER (1898-1972).

“Considero a minha obra, simultaneamente, como muito bonita e muito feia.”

M.C. Escher

M. C. Escher, 1971.
M. C. Escher, 1971.

Quem é Escher

Escher nasceu em 17 de Junho de 1898, em Leeuwarden, na Holanda.

Em 1919, Escher frequentou a Faculdade de Arquitectura e Artes Decorativas de Haarlem mas nunca obteve bons resultados tendo mudado para artes decorativas, onde adquiriu uma boa base em desenho.

Ainda em 1922 mudou-se para Itália, primeiro Siena e depois Roma, onde desenvolveu o gosto por intrincados desenhos decorativos baseados em simetrias geométricas.

Em 1935, por motivos políticos (Itália era então governada por Mussolini), a família deixou a Itália e mudou-se para Château-d’Oex na Suíça, onde permaneceu dois anos.

Mão com esfera reflectora, 1935.
Mão com esfera reflectora, 1935.

Escher detestou a ’branca miséria de neve’ que encontrou na Suíça e, em 1937, a família mudou-se para Ukkel, na Bélgica, perto de Bruxelas.

Em Janeiro de 1941, já durante a Segunda Grande Guerra Mundial, Escher decidiu viver num lugar onde se sentisse mais seguro e mais tranquilo para continuar a desenvolver os seus trabalhos, mudou-se para Baarn, na Holanda, período em que concretizou a sua obra mais rica.

Mãos desenhando-se, 1948.
Mãos desenhando-se, 1948.

Escher, que desde muito novo sofria de graves problemas de saúde, refugiou-se, em 1970, na Casa-de-rosa-Spier, em Laren, na Holanda, uma casa onde os artistas idosos podiam ter os seus próprios estúdios e beneficiar de cuidados de saúde.

Faleceu aqui em 27 de Março de 1972.

As Obras de Escher, uma simbiose entre a arte e a matemática

Apesar de, segundo as suas próprias palavras, Escher se sentir infeliz muitas noites por se considerar incapaz de concretizar as suas visões, nunca deixou de se maravilhar face à infinita capacidade que a vida tem de criar beleza.

O poder atractivo das gravuras de Escher não tem parado de aumentar desde a sua morte, tal como a popularidade dos seus livros e os milhares de reproduções que são vendidas anualmente.

Qualquer ideia que lhe ocorria tinha de ser exaustivamente explorada, por vezes ao longo de vários meses.

Escher deliciou-se e delicia-nos com o facto de representar o espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel, criando assim figuras impossíveis, representações distorcidas e paradoxais.

Posteriormente foi considerado um grande matemático geométrico devido à sua capacidade de nos mostrar a matemática na arte e na vida. Escher utilizou quatro tipos de transformações geométricas: translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes, sempre com resultados surpreendentes.

Escher, além de produzir xilogravuras e litografias, também ilustrou livros e desenhou tapeçarias, selos, postais e murais.

A sua obra tende a representar construções e formas impossíveis, preenchimento regular do plano, explorações do infinito e metamorfoses, recorrendo muitas vezes a padrões geométricos entrecruzados que se transformam gradualmente para formas completamente diferentes.

Uma característica relevante dos trabalhos de Escher é o facto de nunca se ter repetido; uma ou outra vez poderemos encontrar diversas gravuras com o mesmo tema, mas na realidade trata-se sempre de um aperfeiçoamento ou de uma variação com que ele pretendia transmitir mais clara e sucintamente uma determinada ideia.

Relatividade, litografia, 1953.
Relatividade, litografia, 1953.

Para que nos possamos deliciar com a magia de Escher e a sua maravilhosa arte, está actualmente ao nosso dispor uma exposição com mais de 200 obras de Escher, que nos surpreenderão pelas suas representações e construções impossíveis, através da exploração do infinito, com recurso a padrões e figuras geométricas e à ilusão de óptica.

A exposição de Escher, que está patente no Museu de Arte Popular, em Lisboa, até 27 de Maio de 2018, apresenta, além de litografias, também equipamentos didácticos, experiências científicas e algumas surpresas.

Para mais informação sobre horários, preços e compra de bilhetes para visitar a exposição Escher em Lisboa, clique na imagem:

Exposição Escher em Lisboa.
Exposição Escher em Lisboa.

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Inúmeros números

Imaginemos uma aula em Atenas, na Grécia Antiga, sobre os inúmeros números que hoje conhecemos e porque razão eles são todos necessários e úteis.

Há números e números e são mesmo em grande número.

Escola Atenas
Escola Atenas

Comecemos pelo que podemos considerar o princípio, recorrendo a uma pequena história.

José, um jovem, decidiu ser pastor. Reuniu várias ovelhas e chegou um momento em que sentiu necessidade de as contar: uma, duas, três,… Fê-lo recorrendo aos números naturais (N). Digamos que utilizou aquele tipo de números que nos permitem efectuar contagens:

Eq 1

Note-se que o José apenas sentiu necessidade de contar, porque tinha algo para contar, isto é, o zero não é um número natural, se há ‘nada’ para contar não é preciso contar.

Entretanto, o nosso pastor, que apenas tinha 20 ovelhas, envolveu-se em negócios desastrosos com outro colega pastor, tendo ficado a dever 30 ovelhas, isto é, ficaram a faltar 10 ovelhas (passou a ter menos dez ovelhas) para o José poder cumprir as suas obrigações. Como era muito cuidadoso com as suas contas, pretendia registar esta dívida, mas, com os números disponíveis, os naturais, sentiu-se impossibilitado de o fazer.
Criou então os números inteiros negativos, que, reunidos com os números naturais, deram origem ao conjunto dos chamados números inteiros (Z):

Eq 2 v 2

Pois, tenho a certeza que estão a achar algo estranho nesta sequência … É isso, falta o zero!

A sua ausência é momentânea e é propositada. É que o zero é um número muito mais recente na história da evolução do conceito de número (prometo que mais tarde falaremos dele), mas é de facto considerado um número inteiro, assim:

Eq 3 v2

Nota: o símbolo lê-se e significa “reunido com”.

Então, na verdade temos:

Eq 4

Bem, o José entretanto casou com a Maria e começaram a pensar como dividiriam equitativamente o rebanho de oitenta e quatro ovelhas quando tivessem filhos. Como primeira hipótese começaram por imaginar que teriam quatro filhos e facilmente concluíram: seriam vinte e uma ovelhas para cada um (o resultado, vinte e um, é um número inteiro já conhecido).

Em seguida puseram a hipótese de virem a ter oito filhos e … oops, novo problema para resolver: o resultado não está disponível no conjunto dos números inteiros.
Foram assim criados os números fraccionários que, reunidos com os números inteiros, constituem o conjunto dos números racionais (Q), isto é, aqueles números que podem ser representados por uma razão ou fracção:

Eq 5

O José e a Maria ainda se lembraram de considerar a hipótese de não virem a ter filhos e concluíram que, nesse caso, não podiam efectuar a divisão pois não havia ninguém por quem distribuir as ovelhas.

Quer isto dizer que em matemática, tal como na vida real, não é possível efectuar divisões por zero!

Bem, que fique claro, não é possível nem é necessário, logo não se trata de nenhuma incapacidade matemática, mas tão só da concretização da vida real através da matemática, ninguém precisa de dividir 10 rebuçados por zero pessoas…

Em determinada altura o casal José e Maria resolveu construir, em terrenos separados, duas cercas para as ovelhas não se afastarem muito para o que precisaram de fazer cálculos para determinar o comprimento da rede que tinham de comprar. Como ambas as cercas tinham a forma de um triângulo rectângulo, o José lembrou-se do teorema de Pitágoras (é verdade, o José era curioso, gostava muito de aprender coisas novas e tinha andado a ler um livro sobre a vida de Pitágoras).

Para poupar trabalho, resolveu medir o comprimento dos dois catetos e aplicar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da hipotenusa (estou a partir do princípio que os meus leitores conhecem este teorema: o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos).

Uma das cercas tinha os catetos com os seguintes comprimentos (em quilómetros): 3 e 4 , pelo que facilmente concluíram que a hipotenusa (h) seria:

Eq 6

(o resultado, cinco, é um número racional, que já conheciam muito bem).

Entretanto, para a segunda cerca, cujos catetos, também em quilómetros, mediam 2 e 3, fizeram os mesmos cálculos aplicando o teorema de Pitágoras:

Eq 7

e, mais uma vez, outro problema: não existe nenhum número racional, ou seja, uma fracção, capaz de representar esta quantidade.
Surgem assim os números irracionais que, reunidos com os números racionais constituem o conjunto dos números reais (R):

Eq 8

O que o José e a Maria nunca chegaram a saber é que também podem ser calculadas raízes quadradas de números negativos, desde que, aos números reais, sejam reunidos os números imaginários, para assim se obter o conjunto dos números complexos (C),

Eq 9

mas esta é uma parte da história da evolução do conceito de número que vamos deixar para mais tarde.

Para terminar, falta referir que José e Maria foram muito felizes toda a vida e que tiveram apenas um filho!

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